Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若函數g（x）＝f（x）﹣lnx有2個不同的極值點x1，x2（x1＜x2），求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求導得到，討論四種情況得到單調性.

（2）g（x）＝alnxx﹣1，，得到x1+x2＝a，x1x2＝a，f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝alna+lna﹣2a﹣2，設g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），根據函數的單調性得到答案.

（1），x＞0，

（i）若a＝1，0恒成立，故f（x）在（0，+∞）單調遞減，

（ii）當a＞1時，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數單調遞減，當x∈（1，a），f′（x）＞0，函數單調遞增，當x∈（a，+∞），f′（x）＜0，函數單調遞減，

（iii）0＜a＜1時，x∈（0，a）時，f′（x）＜0，函數單調遞減，當x∈（a，1），f′（x）＞0，函數單調遞增，當x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函數單調遞減，

（iv）當a≤0時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數單調遞增，當x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函數單調遞減.

（2）g（x）＝f（x）﹣lnx＝alnxx﹣1，，

由題意可得，x2﹣ax+a＝0與2個不同的根x1，x2（x1＜x2），

則x1+x2＝a＞0，x1x2＝a，△＝a2﹣4a＞0，所以a＞4，

∴f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝a（lnx1+lnx2）+a（）+（lnx1+lnx2）﹣（x1+x2）﹣2﹣2x1x2＝alna+lna﹣2a﹣2，

令g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），

則2＝lna1＞0，即g（a）在（4，+∞）上單調遞增，

所以g（a）＞g（4）＝5ln4﹣10＝5（ln4﹣2）＝5（ln4﹣lne2）＝5.得證.