Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．對于A的一個子集S，若S滿足性質P：“存在不大于n的正整數m，使得對于S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m”，則稱S為理想集．對于下列命題：
①當n=10時，集合B={x∈A|x＞9}是理想集；
②當n=10時，集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是理想集；
③當n=1 000時，集合S是理想集，那么集合T={2 001-x|x∈S}也是理想集．
其中的真命題是

②③

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：利用理想集的定義，分別求出當n=10，n=1000時對應集合的理想集進行判斷．

解答：解：①當n=10時，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質P，因為對任意不大于10的正整數m，
  都可以找到該集合中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．所以①錯誤．
②集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質P．因為可取m=1＜10，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．所以②正確．
③當n=1000時，則A={1，2，3，…，1999，2000}，若集合S具有性質P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質P．

因為T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因為S⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
從而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性質P，可知存在不大于1000的正整數m，
使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
對于上述正整數m，從集合T={2001-x|x∈S}中任取一對元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性質P．所以③正確．
故答案為：②③．

點評：考查集合之間的包含關系的判斷方法，以及元素與集合之間的關系等基礎知識，是新定義題，在解題時注意對新概念的理解與把握是解題的關鍵．