Question

【題目】設函數 ，若曲線 上存在（x0 ， y0），使得f（f（y0））=y0成立，則實數m的取值范圍為（ ）
A.[0，e2﹣e+1]
B.[0，e2+e﹣1]
C.[0，e2+e+1]
D.[0，e2﹣e﹣1]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴ 的最大值為e，最小值為1，∴1≤y0≤e， 顯然f（x）= 是增函數，
（i）若f（y0）＞y0 ， 則f（f（y0））＞f（y0）＞y0 ， 與f（f（y0））=y0矛盾；
（ii）若f（y0）＜y0 ， 則f（f（y0））＜f（y0）＜y0 ， 與f（f（y0））=y0矛盾；
∴f（y0）=y0 ，
∴y0為方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，
由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，
令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，
則g′（x）=2x﹣1﹣ = = ，
∴當x∈[1，e]時，g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，e]上單調遞增，
∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，
∴0≤m≤e2﹣e﹣1．
故選D．
求出y0的范圍，證明f（y0）=y0 ， 得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分離參數，利用函數單調性求出m的范圍．