Question

已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期為π，
且對一切x∈R，都有f（x）；
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若g（x）=f（），求函數g（x）的單調增區間；
（3）若函數y=f（x）-3的圖象按向量=（m，n） （|m|＜）平移后得到一個奇函數的圖象，求實數m、n的值．

Answer 1

解：（1）∵，又周期∴ω=2
∵對一切x∈R，都有f（x）
∴解得：
∴f（x）的解析式為
（2）∵（3）
∴g（x）的增區間是函數y=sin的減區間
∴由得g（x）的增區間為（k∈Z）（等價于．
（3）
分析：（1）由輔助角公式，我們可將函數解析式化為正弦型函數的形式，結合函數f（x）的周期為π，對一切x∈R，都有f（x），我們可以構造a，b，ω的方程，求出a，b，ω的后，即可得到函數f（x）的表達式；
（2）根據g（x）=f（），求出函數g（x）的解析式，進而根據正弦型函數的單調性，確定函數g（x）的單調增區間；
（3）根據正弦型函數的平移法則，我們可以求出函數y=f（x）-3的圖象按向量=（m，n）平移后得到的圖象，由其為奇函數，故原點為其對稱中心，根據正弦函數的對稱性，易得到實數m、n的值．
點評：本題考查的知識點是正弦型函數解析式的求法，正弦型函數的單調性，正弦型函數的圖象變換，其中（1）的關鍵是根據已知構造a，b，ω的方程，（2）的關鍵是求出函數g（x）的解析式，（3）的關鍵是利用函數的對稱性，得到原點為其對稱中心．