Question

（2011•鐘祥市模擬）已知，A是拋物線y²=2x上的一動點，過A作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于EF兩點，交拋物線于M．N兩點，交y軸于B．C兩點
（1）當A點坐標為（8，4）時，求直線EF的方程；
（2）當A點坐標為（2，2）時，求直線MN的方程；
（3）當A點的橫坐標大于2時，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由DEFA四點共圓，知EF是圓（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，由此能求出EF的方程．
（2）設AM的方程為y-2=k（x-2），由kx-y+2-2k=0與圓（x-1）²+y²=1相切得

|2-k|

1+k2

=1，由此能求出MN的方程．
（3）設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），設b＞c，直線PB的方程為y-b=

y0-b

x0

x，由圓心（1，0）到PB的距離為1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，故（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個實數根，由此能求出S_△PBC的最小值．

解答：解：（1）∵DEFA四點共圓
EF是圓（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦
∴EF的方程為7x+4y-8=0…（4分）
（2）設AM的方程為y-2=k（x-2）
即kx-y+2-2k=0與圓（x-1）²+y²=1相切得

|2-k|

1+k2

=1
∴k=

3

4

，
把y-2=

3

4

（x-2）代入y²=2x得M（

2

9

，

2

3

），而N（2，-2）
∴MN的方程為3x+2y-2=0…（8分）
（3）設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設b＞c，
直線PB的方程為y-b=

y0-b

x0

x，
即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
又圓心（1，0）到PB的距離為1，所以

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，故
（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²+b²
又x₀＞2，上式化簡得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個實數根
所以b+c=-

2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

，則（b-c）²=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

(x0-2)2

，
因為P（x₀，y₀）是拋物線上的點，所以有y₀²=2x₀，則
（b-c）²=

4 x 2 0

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀=

x 2 0

x0-2

=x₀-2+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8
當（x₀-2）²=4時，上式取等號，此時x₀=4，y=±2

2

，
因此S_△PBC的最小值為8…（13分）

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．