Question

【題目】如圖，在三棱柱中，已知，，側面.

（Ⅰ）求直線與底面所成角正切值；

（Ⅱ）在棱（不包含端點）上確定一點E的位置，

使得（要求說明理由）；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）當E為中點時，，理由見詳解；（Ⅲ）二面角的大小為45°.

【解析】

方法一：(Ⅰ) 可得為直線與底面ABC所成角，由已知可得的值；

（Ⅱ）當E為中點時，，可得，即.可得，平面ABE，；

（Ⅲ）取的中點G，的中點F，則，且，連結，設，連結，可得為二面角的平面角，可得二面角的大小.

方法二：(Ⅰ)以B為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則，可得，面ABC的一個法向量，可得的值，可得的值；

（Ⅱ）設，則，,

由，可得y的值，可得E的位置；

（Ⅲ）可求得面的一個法向量，

平面的一個法向量,可得二面角的大小.

解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,

在平面ABC上的射影為CB.

為直線與底面ABC所成角，

，

即直線與底面ABC所成角的正切值為2.

（Ⅱ）當E為中點時，.

,，

，即.

又平面，平面.

，平面ABE, 平面ABE ，.

（Ⅲ）取的中點G，的中點F，則，且，

,連結，設，連結，

則，且，

為二面角的平面角. ，，

∴二面角的大小為45°.

另解：以B為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則.

（Ⅰ），面ABC的一個法向量.

設與面ABC所成角為，則，

.

（Ⅱ）設，則，,

由，得，所以E為的中點.

（Ⅲ）由，得，又,

可求得面的一個法向量，

平面的一個法向量,

設二面角的大小為，則.

∴二面角的大小為45°.