Question

【題目】如圖，已知雙曲線C1： ，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C1 ， C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)”

（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”；
（3）求證：圓x2+y2= 內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”

Answer 1

【答案】
（1）解：C1的左焦點(diǎn)為（ ），寫出的直線方程可以是以下形式：

或 ，其中 ．

（2）證明：因?yàn)橹本�y=kx與C2有公共點(diǎn)，

所以方程組 有實(shí)數(shù)解，因此|kx|=|x|+1，得 ．

若原點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”，則存在過(guò)原點(diǎn)的直線與C1、C2都有公共點(diǎn)．

考慮過(guò)原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．

顯然直線x=0與C1無(wú)公共點(diǎn)．

如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組 ，得 ，矛盾．

所以直線y=kx（|k|＞1）與C1也無(wú)公共點(diǎn)．

因此原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”．

（3）證明：記圓O： ，取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q，設(shè)有經(jīng)過(guò)Q的直線l與C1，C2都有公共點(diǎn)，顯然l不與x軸垂直，

故可設(shè)l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間，

從而過(guò)Q且以k為斜率的直線l與C2無(wú)公共點(diǎn)，矛盾，所以|k|＞1．

因?yàn)閘與C1由公共點(diǎn)，所以方程組 有實(shí)數(shù)解，

得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．

因?yàn)閨k|＞1，所以1﹣2k2≠0，

因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，

即b2≥2k2﹣1．

因?yàn)閳AO的圓心（0，0）到直線l的距離 ，

所以 ，從而 ，得k2＜1，與|k|＞1矛盾．

因此，圓 內(nèi)的點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”．

【解析】（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點(diǎn)為（ ），當(dāng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)滿足左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”，當(dāng)斜率存在時(shí)，要保證斜率的絕對(duì)值大于等于該焦點(diǎn)與（0，1）連線的斜率；（2）由直線y=kx與C2有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|＞1，分過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說(shuō)明過(guò)遠(yuǎn)點(diǎn)的直線不可能同時(shí)與C1和C2有公共點(diǎn)；（3）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間，進(jìn)而說(shuō)明當(dāng)|k|≤1時(shí)過(guò)圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2無(wú)公共點(diǎn)，當(dāng)|k|＞1時(shí)，過(guò)圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2有公共點(diǎn)，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結(jié)果與|k|＞1矛盾．從而證明了結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)到直線的距離公式的相關(guān)知識(shí)，掌握點(diǎn)到直線的距離為：．