Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x)=x3+f ′(

2

3

)x2-x+C（其中f ′(

2

3

)為f（x）在點(diǎn)x=

2

3

處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求f ′(

2

3

)的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令x=

2

3

得到關(guān)于f ′(

2

3

)的方程，解方程求出f ′(

2

3

)的值．
（2）將f ′(

2

3

)的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，根據(jù)表求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-x²-3 x+C-1，分函數(shù)遞增和遞減兩類，令h（x）≥0和≤0在[-3，2]上恒成立，求出C的范圍．

解答：解：（1）由f(x)=x3+f ′(

2

3

)x2-x+C，
得f ′(x)=3x2+2f ′(

2

3

)x-1．
取x=

2

3

，得f ′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

3

)-1，
解之，得f ′(

2

3

)=-1，
（2）因?yàn)閒（x）=x³-x²-x+C．
從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ ， -

1

3

)和（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

1

3

 ， 1)．         
（3）函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+C）•e^x，
有g(shù)′（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+C）e^x=（-x²-3 x+C-1）e^x，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上為單調(diào)遞增時(shí)，
等價(jià)于h（x）=-x²-3 x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上為單調(diào)遞減時(shí)，
等價(jià)于h（x）=-x²-3 x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，
即△=9+4（c-1）≤0，解得c≤-

5

4

，
所以c的取值范圍是c≥11或c≤-

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的變化情況表來解決；求函數(shù)在某區(qū)間函數(shù)單調(diào)性已知的問題，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于或小于等于0恒成立問題．