Question

下列命題中，正確命題的個數是（　　）
①命題“?x∈R，使得x³+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x³+1＞0”．
②雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，a＞0）中，F為右焦點，A為左頂點，點B（0，b）且

AB

•

BF

=0，則此雙曲線的離心率為

5 +1

2

．
③在△ABC中，若角A、B、C的對邊為a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，則a、c、b成等比數列．
④已知

a

，

b

是夾角為120°的單位向量，則向量λ

a

+

b

與

a

-2

b

垂直的充要條件是λ=

5

4

．

A．1 個

B．2 個

C．3 個

D．4 個

Answer 1

分析：①利用命題的否定，即可判斷其真假；
②利用雙曲線的離心率的性質可判斷其正誤，
③將cosB=-cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin²B，再利用正弦定理可判斷③的正誤；
④利用向量的坐標運算與向量垂直的性質可判斷其正誤．

解答：解：①命題“?x∈R，使得x³+1＜0”的否定是““?x₀∈R，使得x03+1≥0”，故①錯誤；
②，依題意，F（c，0），A（-a，0），∵點B（0，b），
∴

AB

=（a，b），

BF

=（c，-b），
∵

AB

•

BF

=0，
∴ac-b²=0，而b²=c²-a²，
∴c²-ac-a²=0，兩端同除以a²得：e²-e-1=0，
解得e=

5 +1

2

或e=

1- 5

2

（舍去），
故②正確；
③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，
∴cosB=-cos（A+C），
∴原式化為：cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=1-cos2B，
∵cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，1-cos2B=2sin²B，
∴sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得：b²=ac，故③a、c、b成等比數列錯誤；
④，∵

a

，

b

是夾角為120°的單位向量，
∴（λ

a

+

b

）⊥（

a

-2

b

）?（λ

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=0?λ

a

2-2

b

2+（1-2λ）

a

•

b

=0?λ-2+（1-2λ）×1×1×（-

1

2

）=0?2λ-2-

1

2

=0，
∴λ=

5

4

．故④正確；
綜上所述，正確命題的個數是2個．
故選B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查命題的否定，向量的坐標運算，考查余弦定理與正弦定理的綜合應用，考查雙曲線的性質，綜合性強，屬于難題．