Question

（2007•汕頭二模）給出以下五個命題：
①?n∈N^*，（n²-5n+5）²=1．
②當x，y滿足不等式組

x≥0 x≥y 2x-y≤1

時，目標函數k=3x+2y的最大值為5．
③設全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，則?_U（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定義在R上的函數y=f（x）在區間（1，2）上存在唯一零點的充要條件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知△ABC所在平面內一點P（P與A，B，C都不重合）滿足

PA

+

PB

+

PC

=

BC

，則△ACP與△BCP的面積之比為2．
其中正確命題的序號是

②⑤

．

Answer 1

分析：①利用全稱命題的性質判斷．②利用線性規劃進行判斷．③利用集合的基本運算進行判斷．④利用根的存在定理進行判斷．⑤利用向量的應用判斷．

解答：解：①中，n=5時（n²-5n+5）²=（5²-5×5+5）²=5²=25≠1不成立，所以①錯誤；
②由k=3x+2y得y=-

3

2

x+

k

2

，畫出可行域，平移直線y=-

3

2

x+

k

2

，由平移可知當直線y=-

3

2

x+

k

2

，經過點B時，直線y=-

3

2

x+

k

2

的截距最大，此時k最大．
由

x-y=0 2x-y=1

，得

x=1 y=1

，即B（1，1），代入k=3x+2y得k=3+2=5，即目標函數k=3x+2y的最大值為5，所以②正確；
③因為A={3，4}，B={3，6}，所以A∪B={3，4，6}，所以C_U（A∪B）={1，2，5}，所以③錯誤；
④根據根的存在性定理可知若f（1）•f（2）＜0，此時零點不唯一，所以④錯誤；
⑤

PA

+

PB

+

PC

=

BC

=

PC

-

PB

所以

PA

=-2

PB

，則△ACP與△BCP的面積之比為2，
所以⑤正確．
故答案為：②⑤．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，綜合性較強．