【題目】已知函數
，
．
若
是函數
的極值點，求曲線
在點
處的切線方程；
若函數在區間
上為單調遞減函數，求實數a的取值范圍；
設m，n為正實數，且
，求證：
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）見解析
【解析】
求出導函數，得到函數
的極值點，解得
，求出切線的斜率為
，切點為
，然后利用點斜式求解切線方程；
由知
，利用函數在區間
上為單調遞減函數，得到
在區間上恒成立，推出
，設
，
，，利用基本不等式
，再求出函數的最大值，可得實數
的取值范圍；
利用分析法證明，要證
，只需證
，設
，
，利用導數研究函數的單調性，可得
,從而可得結論．
，
．
是函數
的極值點，
，解得
，
經檢驗，當時，
是函數的極小值點，符合題意
此時切線的斜率為
，切點為，
則所求切線的方程為
由知
因為函數在區間上為單調遞減函數，
所以不等式
在區間上恒成立
即
在區間上恒成立，
當
時，由可得
，
設
，，
，
當且僅當
時，即
時，
，
又因為函數
在區間
上為單調遞減，在區間
上為單調遞增，
且
，
，
所以當時，
恒成立，
即
，也即
則所求實數a的取值范圍是
，n為正實數，且
，
要證
，只需證
即證
只需證
設
，
，
則
在
上恒成立，
即函數在上是單調遞增，
又
，
，即
成立，
也即成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，其質量按測試指標劃分：指標大于或等于100為優品，大于等于90且小于100為合格品，小于90為次品，現隨機抽取這兩臺機床生產的零件各100件進行檢測，檢測結果統計如下：
測試指標 | [85，90） | [90，95） | [95，100） | [100，105） | [105，110） |
甲機床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙機床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（1）試分別估計甲機床、乙機床生產的零件為優品的概率；
（2）甲機床生產1件零件，若是優品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品則虧損20元，假設甲機床某天生產50件零件，請估計甲機床該天的利潤（單位：元）；
（3）從甲、乙機床生產的零件指標在[90，95）內的零件中，采用分層抽樣的方法抽取5件，從這5件中任意抽取2件進行質量分析，求這2件都是乙機床生產的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是函數
的導函數
的圖象，給出下列命題：①-2是函數的極值點；②1是函數的極值點；③在
處切線的斜率小于零；④在區間
上單調遞增.則正確命題的序號是_______.（寫出所有正確命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），直線
的參數方程為
（
為參數），且直線與曲線交于
兩點，以直角坐標系的原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2） 已知點
的極坐標為
，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義域和值域均為[-a，a]的函數y=
和y=g（x）的圖象如圖所示，其中a＞c＞b＞0，給出下列四個結論正確結論的是（ ）
A.方程f[g（x）]=0有且僅有三個解B.方程g[f（x）]=0有且僅有三個解
C.方程f[f（x）]=0有且僅有九個解D.方程g[g（x）]=0有且僅有一個解
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著智能手機的普及，各類手機娛樂軟件也如雨后春筍般涌現. 如表中統計的是某手機娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊用戶數，記月份代碼為
（如
對應于2018年8月份，
對應于2018年9月份，…，
對應于2019年4月份），月新注冊用戶數為
（單位：百萬人）
（1）請依據上表的統計數據，判斷月新注冊用戶與月份線性相關性的強弱；
（2）求出月新注冊用戶關于月份的線性回歸方程，并預測2019年5月份的新注冊用戶總數.
參考數據：
，
，
.
回歸直線的斜率和截距公式：
，
.
相關系數
（當
時，認為兩相關變量相關性很強. ）
注意：兩問的計算結果均保留兩位小數
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