Question

【題目】已知點，在圓：上任取一點，的垂直平分線交于點.（如圖）.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若過點的動直線與（1）中的軌跡相交于、兩點.問：平面內是否存在異于點的定點，使得恒成立？試證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質可得，從而得到點的軌跡是以，為焦點的橢圓；

（2）先考慮當直線軸和直線軸的情況得到定點；再考慮對直線的一般情況都有點滿足題意.

（1）依題意得，，

故點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

，，，

因此，所求的軌跡是橢圓：.

（2）當直線軸時，由得知點在軸上，可設.

當直線軸時，，，由得

，或.

因此，若存在異于點的定點滿足題意，則點的坐標為.

下面我們來證明：對任意直線均有.

當直線的斜率不存在時，由上可知，結論成立.

當直線的斜率存在時，可設直線：，，.

把代入得，

由于點在橢圓的內部，故判別式.所以

，，，

易知點關于軸的對稱點為，

而，

又，

所以，

即、、三點共線，

，

綜上知，存在異于點的定點滿足題意.