Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，AB＝BCAD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°.

（1）求證：PD⊥PB；

（2）當PA＝PD時，求三棱錐P﹣BCD的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，從而PD⊥平面PAB，由此能證明PD⊥PB；

（2）取AD中點O，連接PO，則PO⊥AD，證明PO⊥平面ABCD，再由棱錐體積公式求解.

（1）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，

∵平面ABCD⊥平面PAD，交線為AD，

∴BA⊥平面PAD，從而BA⊥PD，

∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，

∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，∴PD⊥PB；

（2）∵PA＝PD，取AD中點O，連接PO，則PO⊥AD，

由平面ABCD⊥平面PAD，交線為AD，得PO⊥平面ABCD.

又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，

∴.

即三棱錐P﹣BCD的體積為.