Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．
（ I）確定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分線BD交AC于點D，且BD=1，設BC=x，BA=y，試確定y關于x的函數式，并求邊AC長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）⊥?，對此式進行化簡得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；
（Ⅱ）先由三角形的面積之間的關系S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得：=，對x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范圍，進而可求出AC²的取值范圍．
解答：解：（ I）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
在△ABC中，由正弦定理得：，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得
k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，
∴，解得B=．
（ II）∵S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD，，，，
∴xy=x+y，
∴．
在△ABC中，由余弦定理得：
=x²+y²+xy=（x+y）²-xy=（x+y）²-（x+y）=．
∵，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，
∴，∴．
∴AC的取值范圍是：．
點評：理解數量積與向量垂直的關系，正確使用正、余弦定理及三角形的面積公式，基本不等式的性質是解決問題的關鍵．