Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，討論函數的單調性；

（3）當時，記函數的導函數的兩個零點是和（），求證：.

Answer 1

【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）詳見解析（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由導數幾何意義得曲線在處的切線斜率為f ′(1)，所以先求導f ′(x)＝2x －1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用點斜式可得切線方程：2x－y－2＝0．（2）先求函數導數：f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分類討論導函數在定義區間上的零點：當a≤0時，一個零點1；當0＜a時，兩個零點和1；再比較兩個零點大小，分三種情形.（3）本題實質研究函數最小值.因為=()－(bx1－bx2)＋ln，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個根，所以bx=2x2＋1，bx1－bx2=2（）；再由x1x2＝得－－ln(2)，最后根據零點存在定理確定x2取值范圍：x2∈(1，＋∞)，利用導數可得在區間(2，＋∞)單調遞增，即φ(t)＞φ(2)＝－ln2，

試題解析：（1）因為a＝b＝1，所以f(x)＝x 2－x＋lnx，

從而f ′(x)＝2x －1＋．

因為f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y－0＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0．

（2）因為b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，

從而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0．

當a≤0時，x∈(0，1)時，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)時，f ′(x)＜0，

所以，f(x)在區間(0，1)上單調遞增，在區間(1，＋∞)上單調遞減．

當0＜a＜時，

由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，

所以f(x)在區間(0，1)和區間(，＋∞)上單調遞增，在區間(1，)上單調遞減．

當a＝時，

因為f ′(x)≥0（當且僅當x＝1時取等號），

所以f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．

當a＞時，

由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，

所以f(x)在區間(0，)和區間(1，＋∞)上單調遞增，在區間(，1)上單調遞減．

（3）方法一：因為a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，從而f ′(x)＝ (x＞0)．

由題意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個根，故x1x2＝．

記g(x) ＝2x2－bx＋1，因為b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)．

f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．

因為x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)．

令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．

因為φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在區間(2，＋∞)單調遞增，

所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2．

方法二：因為a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，從而f ′(x)＝ (x＞0)．

由題意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個根．

記g(x) ＝2x2－bx＋1，因為b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上為減函數．

所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．

因為b＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2．