Question

【題目】已知圓： ，直線過定點.

（Ⅰ）若與圓相切，求的方程；

（Ⅱ）若與圓相交于、兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.（其中點是圓的圓心）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x=1或3x-4y=3；（Ⅱ） 最大為2.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）分類討論：

直線無斜率時，直線的方程為，此時直線和圓相切，

直線有斜率時，結合圓心到直線的距離等于半徑得到關于k的方程，解方程可得，則直線方程為，

綜上可得直線方程為x=1或3x-4y=3.

（Ⅱ）結合三角形面積公式可知，當，面積有最大值，

由幾何關系可知圓心到直線的距離為，利用點到直線距離公式可知直線的斜率或1，則直線方程為： .

試題解析：

（Ⅰ）直線無斜率時，直線的方程為，此時直線和圓相切，

直線有斜率時，設方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑得： ，直線方程為，

故所求直線方程為x=1或3x-4y=3.

（Ⅱ）面積最大時， ， ，

即是等腰直角三角形，由半徑得：圓心到直線的距離為，

設直線的方程為： 或1，

直線方程為： .