Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為F，設直線l：x=5與x軸的交點為E，過點F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點，M為線段EF的中點．
（I）若直線l1的傾斜角為 ，求△ABM的面積S的值；
（Ⅱ）過點B作直線BN⊥l于點N，證明：A，M，N三點共線．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可知：右焦點F（1，0），E（5，0），M（3，0），
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直線l1的傾斜角為 ，則k=1，
直線l1的方程y=x﹣1，即x=y+1，
則 ，整理得：9x2+8﹣16=0．
則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
△ABM的面積S，S= 丨FM丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨= = ，
∴△ABM的面積S的值 ；
（Ⅱ）證明：設直線l1的方程為y=k（x﹣1），
則 ，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0．
則x1+x2= ，x1x2= ，
直線BN⊥l于點N，則N（5，y2），
由kAM= ，kMN= ，
而y2（3﹣x1）﹣2（﹣y1）=k（x2﹣1）（3﹣x1）+2k（x1﹣1）=﹣k[x1x2﹣3（x1+x2）+5]，
=﹣k（ ﹣3× +5），
=0，
∴kAM=kMN ，
∴A，M，N三點共線．
【解析】（I）由題意，直線l1的x=y+1，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式即可求得△ABM的面積S的值；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1），代入橢圓方程，由韋達定理，利用直線的斜率公式，即可求得kAM=kMN ， A，M，N三點共線．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．