Question

【題目】平面上兩定點，動點滿（為常數）．

（Ⅰ）說明動點的軌跡（不需要求出軌跡方程）；

（Ⅱ）當時，動點的軌跡為曲線，過的直線與交于兩點，已知點，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）對進行分類，再利用線段和橢圓的概念即可得到結果；

（2）由題意可知，可得動點的軌跡方程為，當與軸重合和當與軸垂直時時，易得結論成立；當與軸不重合也不垂直時，設直線的方程為，聯立橢圓方程，得到韋達定理，再直線，的斜率之和為0，即可證明結果.

（Ⅰ）由題意：當時，動點不表示任何圖形；

當時，動點的軌跡是線段；

當時，動點的軌跡是橢圓．

（Ⅱ）當時，動點的軌跡方程為：．

當與軸重合時，

當與軸垂直時，直線恰好平分，

則．

當與軸不重合也不垂直時，

設直線的方程為

代入橢圓方程可得

設，

則，

直線，的斜率之和為

因為

所以，故直線，的傾斜角互補

即．