Question

（本小題滿分14分）已知數列｛a_n｝是以d為公差的等差數列，數列｛b_n｝是以q為公比的等比數列
（Ⅰ）若數列｛b_n｝的前n項和為S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜5b₂＋a₈₈－180，求整數q的值
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問數列｛b_n｝中是否存在一項b_k，使得b_,k恰好可以表示為該數列中連續P（P∈N，P≥2）項和？請說明理由。
（Ⅲ）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r， b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的約數）求證：數列｛b_n｝中每一項都是數列｛a_n｝中的項.

Answer 1

（Ⅰ）q=2.（Ⅱ不存在；（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了數列的通項公式和數列求和的綜合運用。
（1）若數列｛b_n｝的前n項和為S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜5b₂＋a₈₈－180，借助于通項公式得到q的值。
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，假設數列｛b_n｝中存在一項b_k，使得b_,k恰好可以表示為該數列中連續P（P∈N，P≥2）項和，然后推理證明。
（Ⅲ）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r， b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的約數），要證明數列｛b_n｝中每一項都是數列｛a_n｝中的項，只要分析通項公式的特點可以得到。
（Ⅰ）由題意知a_n=2n，b_n=2·^n—1 由S₃＜5b₂＋a₈₈－180得.
b₁+b₂+b₃＜a₈₈＋5b₂－180 b₁—4b₂+b₃＜176—180q²—4q+3＜0
解得1＜q＜3,q為值數.q="2." ………………………………4分
（Ⅱ）假設數列｛b_n｝中存在一項b_k滿足b_k=b_m+b_m+1+……b_m+p—1
 b_n=2ⁿ b_k＞b_m+p—12^k＞2^m+p—1k＞m+p—1k≥m+p.]
又b_k=2^k=b_m+b_m+1=2^m+2^m+1+2^m+p—1==2^m+p—2^m
2^k＜2^m+pk＜m+p與k≥m+p矛盾，不存在………………………………9分
（Ⅲ）由b₁=a_r得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+(s—r)d，則d=
又b₃=b₁q²=a_r.q²=a_t=a_r+(t—r)da_rq²—a_r=(t—r)
a_r(q+1)(q—1)=a_r(q—1).
a_s≠a_rb₁≠b₂q≠1.又a_r≠0
故q=—1又t＞s＞r且（s—r）是(t—r)的約數 q是正整數且q≥2
對于數列｛b_n｝中任一項b_i(這里只討論i＞3的情形)，
有b_i=a_rq^i—1= a_r+a_r(q^i—1—1)= a_r+ a_r（q—1）（1+q+…+q^i—2）
= a_r+d(s—r)(1+q+…+q^i—2)=a_r＋[((s—r)(1+q+…+qⁱ⁺²)+1)—1]d
由于（s—r）(1+q+…+q^i—2)+1為正整數
b_i一定是數列｛a_n｝中的項……………………………14分