Question

【題目】正方體棱長為，點為邊的中點，動點在正方體表面上運動，并且總保持，則動點的軌跡的周長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

作出圖形，連接、、、，證明出平面，設過點且與直線垂直的平面為平面，可得出平面平面，利用面面平行的性質定理找出平面截正方體所成的截面圖形，計算出其周長即可得解.

連接、、、，如下圖所示：

四邊形是正方形，則，

在正方體中，平面，平面，，

，平面，平面，，

同理可證，，平面，

設過點且與垂直的平面為平面，若，則平面。

則點的軌跡為平面與正方體各面的交線，

設，，

平面，平面，平面平面，

平面平面，平面平面，，

為的中點，則點為的中點，同理可知點為的中點，

所以，點的軌跡為的三條邊，

由勾股定理得，同理，

因此，點的軌跡的周長為.

故選：C.