Question

【題目】已知函數

（1）若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）若函數對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函數的單調性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.

（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調性得到函數最值，得到答案.

（1），

①當時恒成立，所以單調遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；

②當時，令，

函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數。

（i）當即,所以符合題意，

（ii）當即 時，

因為，

故存在,所以 不符題意

（iii）當 時，

因為，

設，

所以,單調遞增，即，

故存在，使得，不符題意；

綜上，的取值范圍為。

（2）。

①當時，恒成立，所以 單調遞增，所以，

即符合題意；

②當 時，恒成立，所以單調遞增，

又因為，

所以存在，使得，且當時，。

即在上單調遞減，所以，不符題意。

綜上，的取值范圍為.