Question

已知一個圓截y軸所得的弦長為2，被x軸分成的兩段弧長的比為3：1．
（1）設圓心（a，b），求實數a、b滿足的關系式；
（2）當圓心到直線l：x-2y=0的距離最小時，求圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設出圓心P的坐標和半徑為r，根據圓被x軸分成的兩條弧之比得到

2

|b|=r，兩邊平方得到一個關系式，記作①式，再根據弦長的一半，弦心距即為P的橫坐標的絕對值，及圓的半徑r，利用勾股定理列出另外一個關系式，記作②，兩式聯立消去r即可得到a與b滿足的關系式；
（2）先利用點到直線的距離公式表示出圓心P到直線l的距離d，兩邊平方后，根據基本不等式及（1）得出的a與b的關系式即可得到d的最小值，當且僅當a=b取等號，把a=b與（1）得出的關系式聯立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進而確定出圓心坐標和圓的半徑，寫出圓的標準方程即可．

解答：解：（1）設圓心P（a，b），半徑為r，則|b|=

r

2

，2b²=r²，①…（3分）
又|a|²+1=r²，所以a²+1=r²，②
聯立①②消去r得：2b²=a²+1；…（6分）
（2）點P到直線x-2y=0的距離d=

|a-2b|

5

，
5d²=a²-4ab+4b²≥a²+4b²-2（a²+b²）=2b²-a²=1，…（9分）
所以

a=b 2b2=a2+1

，
所以

a=1 b=1

，或

a=-1 b=-1

，…（11分）
所以（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2．…（13分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，基本不等式以及圓的標準方程，當直線與圓相交時，常常由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．