Question

【題目】（不等式選講）

已知函數．

(1)若，解不等式；

(2)若不等式在R上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)[2，＋∞)．(2){a|a≥2或a≤－4}．

【解析】試題分析：(1)分x<－1，－1≤x≤3，x>3三種情況去掉絕對值討論即可.

(2)由絕對值三角不等式的性質可得|x＋a|＋|x－1|≥|a＋1|，只需|a＋1|≥3，求解即可.

試題解析：(1)依題意，|x＋1|＋|x－3|≤2x.

當x<－1時，原不等式化為－1－x＋3－x≤2x，解得x≥，故無解；

當－1≤x≤3時，原不等式化為x＋1＋3－x≤2x，解得x≥2，故2≤x≤3；

當x>3時，原不等式化為x＋1＋x－3≤2x，即－2≤0恒成立．

綜上所述，不等式f(x)＋|x－3|≤2x的解集為[2，＋∞)．

(2)f(x)＋|x－1|≥3|x＋a|＋|x－1|≥3恒成立，

由|x＋a|＋|x－1|≥|a＋1|可知，只需|a＋1|≥3即可，

故a≥2或a≤－4，即實數a的取值范圍為{a|a≥2或a≤－4}．