Question

【題目】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：

①曲線有四條對稱軸；

②曲線上的點到原點的最大距離為；

③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；

④四葉草面積小于.

其中，所有正確結論的序號是（ ）

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.

①：當變?yōu)?/span>時， 不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；

當變?yōu)?/span>時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；

當變?yōu)?/span>時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；

當變?yōu)?/span>時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；

綜上可知：有四條對稱軸，故正確；

②：因為，所以，

所以，所以，取等號時，

所以最大距離為，故錯誤；

③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，

因為，所以，所以，

取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；

④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內部，

因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.

故選：C.