Question

【題目】如圖,橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6,離心率為，

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn),使得為定值.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6,離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去可得關(guān)于的一元二次方程，表示為，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，令可得結(jié)果.

（Ⅰ）由題設(shè)得,又,解得,∴.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)此時(shí)直線的方程為,

設(shè),,把代入橢圓的方程,消去并整理得,

,則,,

可得.設(shè)點(diǎn),

那么,

若軸上存在定點(diǎn),使得為定值,則有,解得,

此時(shí),,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),此時(shí)直線的方程為,把代入橢圓方程解得,

此時(shí),,, ,

綜上,在軸上存在定點(diǎn),使得為定值.