Question

（本小題滿分14分）如圖,四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=．
PD=1，PC=，PD⊥BC。

（Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小．

Answer 1

（1）見解析；（2）60°.

(I)證明本小題的關(guān)鍵是證是直角三角形，即.
又從而問題得證.
(II)解本小題關(guān)鍵是作出二面角的平面角，過O作OE⊥PB于點(diǎn)E,連結(jié)AE,
證明就是二面角A－PB－D的平面角即可。
（Ⅰ）證明:,
．……2分
又,……4分
∴ PD⊥面ABCD………6分
（Ⅱ）解:連結(jié)BD,設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,

過O作OE⊥PB于點(diǎn)E,連結(jié)AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴,
又∵AO⊥BD,∴AO⊥面PDB．
∴AO⊥PB,
∵,
∴,從而,
故就是二面角A－PB－D的平面角．…………10分
∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵,   ∴,………………12分
 ∴ ．
故二面角A－PB－D的大小為60°．…………………14分
（也可用向量解）