Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增.

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)取最小值時(shí)，求函數(shù)的極小值.

（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）①②（2）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到恒成立，即在上恒成立，設(shè)，求函數(shù)的最大值得到答案；，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到極小值.

（2），計(jì)算函數(shù)單調(diào)性得到，故存在唯一，使得，又，得到答案.

（1）①，得，

由題意知在上恒成立，在上恒成立.

令，則，

令，得，令，得，

在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，

，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

②當(dāng)實(shí)數(shù)取最小值時(shí)，.

，

令，解得或，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù).

令，解得，

當(dāng)，時(shí)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

令則，

在上單調(diào)遞減，即.

當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一，使得，

又有兩個(gè)零點(diǎn).