Question

設函數是定義在區間上的偶函數,且滿足
（1）求函數的周期；
（2）已知當時，.求使方程在上有兩個不相等實根的的取值集合M.
(3)記,表示使方程在上有兩個不相等實根的的取值集合,求集合.

Answer 1

（1）是以2為周期的函數；（2）的取值集合為=；
（3）。

試題分析：（1）因為
所以，是以2為周期的函數       3分
（2）當時，即
可化為: 且,
平面直角坐標系中表示以（0，1）為圓心，半徑為1的半圓    5分
方程 在上有兩個不相等實根即為直線與該半圓有兩交點
記A(-1,1), B(1,1)，得直線OA、OB斜率分別為-1，1    6分
由圖形可知直線的斜率滿足且時與該半圓有兩交點
故所求的取值集合為=    8分
（3）函數f(x)的周期為2 ,              9分
當時，，
的解析式為：.  即
可化為: 且    12分
平面直角坐標系中表示以（2k，1）為圓心，半徑為1的半圓
方程 在上有兩個不相等實根即為直線與該半圓有兩交點
記，得直線的斜率為    13分
由圖形可知直線的斜率滿足時與該半圓有兩交點
故所求的取值集合為         14分
點評：難題，本題將集合、函數的性質、直線與圓的位置關系綜合在一起考查，增大了“閱讀理解”的難度。解答過程中，注意數形結合加以研究，是正確解題的關鍵。