Question

【題目】已知函數，滿足.設為上任一點,過作的切線,其斜率滿足

（1）求函數的解析式；

（2）若數列滿足.設為正常數.

①求；

②若不等式對任意的恒成立，則實數是否存在最大值?若存在,請求出這個值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ①；② 的最大值為.

【解析】

(1)求出，結合其單調性，根據已知條件，求得即，進而可求的值.

(2) ①由題意知，可證明是以為首項，為公比的等比數列，從而可求.

②結合導數判斷出，從而，即可求出 的值.

(1)解：由題意知，是切點.

，.

，， 即.

，在單調遞增，.

由題意知，,.

，所以，故.

(2) ①解:由題意知,.

，，

則，

.

，

是以為首項， 為公比的等比數列.

，.

②證明:因為不等式對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立.

設，，

則，.

設.

當 為奇數時，，，

.

當為偶數時，，

，，

綜上所述， 即 的最大值為.