Question

已知函數f(x)=

2x+3

3x

，數列{a_n}滿足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=

1

anan+1

，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜

m-2013

2

對一切n∈N^*成立，求最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

2x+3

3x

，數列{a_n}滿足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)．可得an+1=

2• 1 an +3

3• 1 an

=an+

2

3

，再利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）可得bn=

1

anan+1

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n+1)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用“裂項求和”即可得到Sn，利用單調性即可得出．

解答：解：（1）由函數f(x)=

2x+3

3x

，數列{a_n}滿足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)可得：an+1=

2• 1 an +3

3• 1 an

=an+

2

3

，
∴數列{a_n}是以1為首項，

2

3

為公差的等差數列，
∴an=1+

2

3

(n-1)=

2

3

n+

1

3

．
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n+1)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Sn=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
由Sn＜

m-2013

2

，即

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

m-2013

2

對一切n∈N^*成立，
又

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)隨著n單調遞增，且

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

3

2

，
∴

3

2

≤

m-2013

2

，故m≥2016．
∴m的最小值為2016．

點評：本題綜合考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”、數列的單調性等基礎知識與基本技能，屬于難題．