Question

（I）給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N*都成立，則稱數列{c_n}是“M類數列”．
（i）若an=3•2n，n∈N*，數列{a_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；
（ii）若數列{b_n}的前n項和為Sn=n2+n，證明數列{bn}是“M類數列”．
（Ⅱ）若數列{an}滿足a1=2，an+an+1=2n(n∈N*)，求數列{an}前2013項的和．

Answer 1

（Ⅰ）（i）∵an=3•2n，n∈N*，
∴an+1=3×2n+1=2×(3×2n)=2×a_n=2a_n+0，
∴p=2，q=0
∴數列{a_n}是“M”數列．
（ii）當n=1時，b1=S1=12+1=2．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．
上式對于n=1時也成立，
∴b_n=2n（n∈N^*）．
∴b_n+1=2（n+1）=2n+2=b_n+2．
∴數列{b_n}是“M”數列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵an+an+1=2n（n∈N^*），∴a2+a3=22，a4+a5=24，…a2012+a2013=22012．
S₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=2+2²+2⁴+…+2²⁰¹²=2+

4×(41006-1)

4-1

=

22014+2

3

．
故數列{a_n}前2013項的和S₂₀₁₃=

22014+2

3

．