Question

【題目】已知數列{an}中，a2=2，前n項和為 ． （I）證明數列{an+1﹣an}是等差數列，并求出數列{an}的通項公式；
（II）設 ，數列{bn}的前n項和為Tn ， 求使不等式 對一切n∈N*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，當 ． a2=2，則a2﹣a1=1．
當 ， ，
則 ，
則（n﹣1）an+1﹣2（n﹣1）an+（n﹣1）an﹣1=0，
即an+1﹣2an+an﹣1=0，
即an+1﹣an=an﹣an﹣1 ．
則數列{an+1﹣an}是首項為1，公差為0的等差數列．
從而an﹣an﹣1=1，則數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列．
所以，an=n（n∈N*）
（II）
所以，
= ．
由于 ．
因此Tn單調遞增，
故Tn的最小值為
令 ，
所以k的最大值為18
【解析】（I）由題意，當 ．a2=2，則a2﹣a1=1．當 ，由此入手能夠導出數列{an+1﹣an}是首項為1，公差為0的等差數列，從而能夠求出an ． （II） ，所以， = ．由此能夠求出使不等式 對一切n∈N*都成立的最大正整數k的值．
【考點精析】關于本題考查的等差數列的通項公式（及其變式）和等差關系的確定，需要了解通項公式：或；如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列才能得出正確答案．