Question

【題目】已知.

（1）求的單調區間；

（2）當時，求證：對于，恒成立；

（3）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題（1）對函數求導后，利用導數和單調性的關系，可求得函數的單調區間.（2）構造函數，利用導數求得函數在上遞減，且，則，故原不等式成立.（3）同（2）構造函數，對分成三類，討論函數的單調性、極值和最值，由此求得的取值范圍.

試題解析：

（1）

，

當時，.

解得．

當時，解得．

所以單調增區間為，

單調減區間為．

（2）設

，

當時，由題意，當時，

恒成立．

，

∴當時，恒成立，單調遞減．

又，

∴當時，恒成立，即．

∴對于，恒成立．

（3）因為

．

由（2）知，當時，恒成立，

即對于，，

不存在滿足條件的；

當時，對于，，

此時．

∴，

即恒成立，不存在滿足條件的；

當時，令，

可知與符號相同，

當時，，，

單調遞減．

∴當時，，

即恒成立．

綜上，的取值范圍為．