Question

【題目】設函數f（x）.

（1）若x＝1是函數f（x）的一個極值點，求k的值及f（x）單調區間；

（2）設g（x）＝（x+1）ln（x+1）+f（x），若g（x）在[0，+∞）上是單調增函數，求實數k的取值范圍；

（3）證明：當p＞0，q＞0及m＜n（m，n∈N*）時，.

Answer 1

【答案】（1）k＝2，f（x）在（﹣∞，）遞增，在（，1）遞減，在（1，+∞）遞增（2）k（3）證明見解析；

【解析】

（1）求出函數 的導數，利用求出k，令即求出函數的單調區間；

（2）求出函數的導數，問題轉化為g′（x）＝h（x）＝ln（x+1）+kx2﹣x≥0恒成立，求出h（x）的導數，通過討論k的范圍，求出函數h（x）的最小值，求出k的范圍即可；

（3）問題轉化為證明ln[1]ln[1]，不妨設p＞q＞0，構造函數φ（x）ln（1+ax），（x＞0），其中a∈（0，1），根據函數的單調性證明即可.

解：（1）f′（x）＝kx2﹣x﹣1，

∵x＝1是函數f（x）的一個極值點，

∴f′（1）＝k﹣1﹣1＝0，解得：k＝2，

∴f′（x）＝2x2﹣x﹣1，

當f′（x）＞0，即x或x＞1時，f（x）遞增，

當f′（x）＜0，即x＜1時，f（x）遞減，

∴f（x）在（﹣∞，）遞增，在（，1）遞減，在（1，+∞）遞增；

（2）g（x）＝（x+1）ln（x+1）x3x2﹣x，

g′（x）＝ln（x+1）+kx2﹣x，

若g（x）在[0，+∞）上是單調增函數，則g′（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立，

令h（x）＝ln（x+1）+kx2﹣x，h′（x）2kx﹣1，

（i）若k≤0，則h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）遞減，

∴h（x）≤h（0）＝0，不合題意；

（ii）若k＞0，由h′（x）＝0解得：x＝0，x1，

①當0＜k時，0，

∴x∈（0，）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，

∴h（x）≤h（0）＝0，不合題意；

②當k時，0，

∴x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，

∴h（x）≥h（0）＝0，即g′（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，

綜上，k時，g（x）在[0，+∞）是單調遞增函數；

（3）∵1，

∴

[1]2n﹣1＞[1]2m﹣1，

ln[1]ln[1]，

不妨設p＞q＞0，則01，

構造函數φ（x）ln（1+ax），（x＞0），其中a∈（0，1），

φ′（x），

由（2）知ln（x+1）＞xx2，

∴ln（ax+1）＞axa2x，

∴φ′（x），

∵a∈（0，1），x＞0，

∴lna＜0，ax＞a2xa2x，

∴φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）遞減，

∵1≤m＜n，∴0＜2m﹣1＜2n﹣1，

∴ln[1]ln[1]，

故原不等式成立.