Question

【題目】已知橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合，曲線與相交于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點的直線（與軸不重合）與橢圓交于，兩點，線段的中點，連接并延長交橢圓于點（為坐標原點），求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為3．

【解析】

（1）將點帶入拋物線方程，可求得的值，進而得焦點坐標；將點代入橢圓方程，并結合橢圓中的等量關系，解方程組求得，即可得橢圓的方程；

（2）方法一：設，，，直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，由韋達定理表示出，進而由弦長公式表示出弦長；由中點坐標公式表示出的坐標，進而可表示出直線的方程，代入橢圓后求得點坐標，由點到直線距離公式求得到的距離和到的距離，即可表示出四邊形面積，即可確定面積的最小值；方法二：當直線斜率不存在時，易得四邊形面積，當斜率存在時，設，，直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，求得點坐標，同上即可.

（1）點在上，

，

，

橢圓的右焦點為，

，解得，

橢圓的標準方程為．

（2）解法一：設，，，

設直線AC的方程為，與橢圓方程聯立得，

整理得．

由韋達定理得，，

由弦長公式可得

，

由中點坐標公式可知，，

，

直線OG的方程為，代入，

整理得，

取點，

B到直線AC的距離

，

O到直線AC的距離，

，當且僅當時取得最小值．

綜上所述，四邊形OABC的面積最小值是3．

解法二：①當斜率不存在時，直線AC的方程為，

此時；

②當直線AC斜率存在時，設為k，

，，

AC的方程為，

與橢圓方程聯立，

得，

，

，，

．

的方程為，

聯立，得，

不妨設，，

B到直線AC的距離為，

O到直線AC的距離為，

由弦長公式得

，

．

綜上所述，當直線AC垂直于x軸時，面積取得最小值為3．