Question

設定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）+f（x）=1，且當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，則f（8.5）=

0.5

．

Answer 1

分析：根據題目給出的等式，取x=-x得另一個等式，兩式作差后得到f（1+x）=f（1-x），再取x=x+1代入后可得周期，運用函數的周期及偶函數可求f（8.5）的值．

解答：解：由f（x+1）+f（x）=1①，取x=-x，得：f（1-x）+f（-x）=1，
因為f（x）為偶函數，所以有f（1-x）+f（x）=1②，
①-②得：f（1+x）=f（1-x），再取x=1+x，得f（2+x）=f（-x）=f（x），所以函數f（x）是周期為2的周期函數，
所以f（8.5）=f（8+0.5）=f（0.5）=f（-2+0.5）=f（-1.5）=f（1.5），
又當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，所以f（1.5）=2-1.5=0.5
所以f（8.5）=0.5
故答案為0.5．

點評：本題考查了函數的奇偶性及周期性，如何通過f（x+1）+f（x）=1進一步推出函數的周期是解答該題的關鍵．