Question

【題目】已知是橢圓與雙曲線的一個公共焦點,分別是在第二、四象限的公共點.若則的離心率為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

設左焦點為F，右焦點為F′，再設|AF|=x，|AF′|=y，利用橢圓的定義，四邊形AFBF′為矩形，可求出x，y的值，進而可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線的離心率．

如圖，設左焦點為F，右焦點為F′，

再設|AF|=x，|AF′|=y，

∵點A為橢圓C1：上的點，2a=6，b=1，c=2，

∴|AF|+|AF′|=2a=6，即x+y=6，①

又四邊形AFBF′為矩形，

∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2，

即x2+y2=（2c）2=32，②

聯立①②得，解得x=3﹣，y=3+，

設雙曲線C2的實軸長為2a′，焦距為2c′，

則2a′=|AF′|﹣|AF|=y﹣x=2，2c′=4，

∴C2的離心率是e=

故答案為：．