Question

【題目】已知函數

求證：（1）

（2）對,若，=1，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用函數的單調性結合函數的定義域即可證得結論；

(2)結合題意利用數學歸納法證明結論即可.

試題解析：

⑴x>0時，=x 0,f(x)單調增，f(x) f(0)=0

⑵① =, x1=1 >1,>0對任意n成立；

又⑴知f()0 -1<,從而<,,數列{}單調減，

②下面用數學歸納法證明

當n=1時，=1>,命題成立

假設n=k時，命題成立，即

要證>,只要證明，只要證明>

設g(x)=,==->0在x>0上成立，

故g(x)在x>0上單調增，，g()=>g(),

只要證明g()=>=,設≥=t>0，

只要證明，只要證明-1>t

設-1-t=h(t),t>0,=>0在t>0時恒成立，

h(t)單調增，h(t)>h(0)=0, -1>t成立。從而對n=k+1，不等式仍然成立

總之，成立