Question

【題目】如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點將沿AD折到位置如圖，連結PC，PB構成一個四棱錐．

Ⅰ求證；

Ⅱ若平面ABCD．

求二面角的大小；

在棱PC上存在點M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．

Answer 1

【答案】Ⅰ詳見解析；Ⅱ①，②或．

【解析】

Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；

Ⅱ以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可以求出相應點的坐標，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數量積，求出二面角的大小；

求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.

證明：Ⅰ在圖1中，，，

為平行四邊形，，

，，

當沿AD折起時，，，即，，

又，平面PAB，

又平面PAB，．

解：Ⅱ以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由于平面ABCD

則0，，0，，1，，0，，1，

1，，1，，0，，

設平面PBC的法向量為y，，

則，取，得0，，

設平面PCD的法向量b，，

則，取，得1，，

設二面角的大小為，可知為鈍角，

則，．

二面角的大小為．

設AM與面PBC所成角為，

0，，1，，，，

平面PBC的法向量0，，

直線AM與平面PBC所成的角為，

，

解得或．