Question

【題目】設函數，是函數的導數.

（1）若，證明在區間上沒有零點；

（2）在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先利用導數的四則運算法則和導數公式求出，再由函數的導數可知，

函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，，可知在區間上恒成立，即在區間上沒有零點；

（2）由題意可將轉化為，構造函數，

利用導數討論研究其在上的單調性，由，即可求出的取值范圍．

（1）若，則，，

設，則，，

，故函數是奇函數．

當時，，，這時，

又函數是奇函數，所以當時，.

綜上，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減.

又，，

故在區間上恒成立，所以在區間上沒有零點.

（2），由，所以恒成立，

若，則，設，

.

故當時，，又，所以當時，，滿足題意；

當時，有，與條件矛盾，舍去；

當時，令，則，

又，故在區間上有無窮多個零點，

設最小的零點為，

則當時，，因此在上單調遞增.

，所以.

于是，當時，，得，與條件矛盾.

故的取值范圍是.