Question

f（x）=（x+a）（x+b）是偶函數，且它的定義域為（a，a+4），則該函數的最小值是

-4

．

Answer 1

分析：將函數解析式展開，由函數是偶函數的性質可以得出b的值，再利用偶函數的定義域為（a，a+4）求得a的值即可．

解答：解：∵f（x）=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∴a+b=0，
∴b=-a，
∴f（x）=x²-a²；
又∵偶函數的定義域為（a，a+4），
∴a+a+4=0，
∴a=-2．
∴f（x）=x²-4
∴該函數的最小值是-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查函數奇偶性的性質，求解本題的關鍵是根據函數的偶函數的性質得出b的值，難點在于對定義域為（a，a+4）的理解與應用（關于原點對稱），要注意這些條件的使用，屬于中檔題．