Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）推導出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面

AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

（Ⅱ）設AC與BD的交點為G,推導出EC// FG,取BC的中點為O,連結OD,則OD⊥BC,以O為坐標原點，以過點O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立

空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

（Ⅰ）證明：，即，

因為平面平面，

所以平面，

所以，

因為，

所以平面，

所以，

因為四邊形是平行四邊形，

所以四邊形是菱形，

故；

解法一：（Ⅱ）設與的交點為，

因為平面，

平面平面于，

所以，

因為是中點，

所以是的中點，

因為，

取的中點為，連接，

則，

因為平面平面，

所以面，

以為坐標原點，以過點且與平行的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，，，，，

設平面的法向量，

則，取，

同理可得平面的法向量，

設平面與平面的夾角為，

因為，

所以二面角的余弦值為.

解法二：（Ⅱ）設與的交點為，

因為平面，平面平面于，

所以，

因為是中點，

所以是的中點，

因為，，

所以平面，

所以，

取中點，連接、，

因為，

所以，

故平面，

所以，即是二面角的平面角，

不妨設，

因為，，

在中，，

所以，所以二面角的余弦值為.