Question

【題目】對于定義在上的函數，若存在，使恒成立，則稱為“型函數”；若存在，使恒成立，則稱為“型函數”.已知函數.

（1）設函數.若，且為“型函數”，求的取值范圍；

（2）設函數.證明：當，為“（1）型函數”；

（3）若，證明存在唯一整數，使得為“型函數”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將代入，依題意，即恒成立，設，求出函數的最小值即可得解；

（2）分析可知，即證，令，，方法一：由不等式的性質可知在上單調遞減，在上單調遞增，故，即得證；方法二：令，再對函數求導，可得當時，，當時，，進而得到的單調性，由此得證；

（3）問題等價于證明存在唯一整數，恒成立，易知當及時，不合題意，故只需證明時符合題意即可，方法一：記，分當或以及當時證明即可；

方法二：記，利用導數求其最大值小于0即可得證.

（1）時，.

因為為“型函數”，

所以恒成立，即恒成立.

設，則恒成立，

所以在，上單調遞減，

所以（1），

所以的取值范圍是；

（2）證明：當時，要證為“（1）型函數”，

即證，即證.

令，則，

方法一：當時，，，則；

當時，，，則；

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

則（1），又（1），所以，

所以為“（1）型函數”.

方法二：令，則，

所以函數在上單調遞增，又（1），

所以當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

以下同方法一.

（3）證明：函數為“型函數”等價于恒成立，

當時，，不合題意；

當時，，不合題意；

當時，

方法一：，

①當或時，；

②當時，，由（2）知，

所以，

綜上，存在唯一整數，使得為“型函數”.

方法二：，，

記，則，

所以在上單調遞減.

易得，

所以；

又因為，

所以存在唯一零點，使得，

且為的最大值點，

所以，

注意到在上單調遞增，

所以，所以.

綜上，存在唯一整數，使得為“型函數”.