Question

【題目】已知函數．

（1）那么方程在區間上的根的個數是___________．

（2）對于下列命題：

①函數是周期函數；

②函數既有最大值又有最小值；

③函數的定義域是，且其圖象有對稱軸；

④在開區間上，單調遞減．

其中真命題的序號為______________（填寫真命題的序號）．

Answer 1

【答案】4039； ②③；

【解析】

（1）方程在區間上的根，即為在區間上的根．

（2）根據函數的周期性的定義、最值、對稱性以及單調性判斷可得；

解：（1），即，即，，解得，，

由于，

方程在區間上的根的個數是4039個，

（2）①函數是周期函數不正確，因為分母隨著自變量的遠離原點，趨向于正窮大，

所以函數圖象無限靠近于軸，故不是周期函數，故①錯誤；

③，，則恒成立；故函數的定義域為，在函數圖象上任取點，則點關于直線的對稱點是

而．

直線是函數圖象的對稱軸；故③正確，

②因為有最值，在上單調遞增，在上單調遞減，所以，從而（當且僅當取等號），所以既有最大值又有最小值；故②正確；

④因為函數在與時，，故在開區間上，不可能單調遞減．故④錯誤；

故正確的有②③．

故答案為：（1）、4039；（2）、②③；