Question

【題目】已知，為拋物線上的兩個不重合的動點，且，滿足，.

（1）證明：線段的垂直平分線經過定點；

（2）若線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）設線段的中點為，可直接算得，再用表示，列出線段的垂直平分線的方程，再找到此方程經過的定點；（2）聯立方程組，根據判別式判斷參數的取值范圍，再列出的關系式，再根據函數單調性求出面積的最大值。

解：（1）設線段的中點為，由題意，，

則，，

因為.

所以線段的垂直平分線的方程是，

即.

所以線段的垂直平分線經過定點.

（2）直線和拋物線方程聯立得

，，

解得.

由題意可得.

，

定點到線段的距離，

所以，

令，.

，

所以函數在上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以在上的最大值為.

綜上，.