Question

【題目】Monte-Carlo方法在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用．下面利用Monte-Carlo方法來估算定積分．考慮到等于由曲線，軸，直線所圍成的區(qū)域的面積，如圖，在外作一個(gè)邊長(zhǎng)為1正方形OABC．在正方形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為，此即為定積分的估計(jì)值．現(xiàn)向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落入M中的點(diǎn)的數(shù)目．

（1）求X的期望和方差；

（2）求用以上方法估算定積分時(shí)，的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間（-0.01，0.01）的概率．

附表：

	1899	1900	1901	2099	2100	2101
	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.9871.

【解析】

（1）利用定積分求出曲邊梯形的面積得到每個(gè)點(diǎn)落入的概率，再利用二項(xiàng)分布求出隨機(jī)變量的期望和方差.

（2）所求概率為，利用表中數(shù)據(jù)可得結(jié)果.

(1)依題意，每個(gè)點(diǎn)落入中的概率為，，

所以.

(2)依題意，所求概率為

.