Question

【題目】2018年9月16日下午5時左右，今年第22號臺風“山竹”在廣東江門川島鎮附近正面登陸，給當地人民造成了巨大的財產損失，某記者調查了當地某小區的100戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數據分成，，，，五組，并作出如下頻率分布直方圖.

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖估計該小區居民由于臺風造成的經濟損失的眾數和平均值.

（Ⅱ）“一方有難，八方支援”，臺風后居委會號召小區居民為臺風重災區捐款，記者調查的100戶居民捐款情況如下表格，在表格空白處填寫正確數字，并說明是否有99%以上的把握認為捐款數額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？

（Ⅲ）將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該地區大量受災居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經濟損失超過元的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列及期望.

參考公式：，其中

Answer 1

【答案】（Ⅰ）眾數為3000，平均值為2920（Ⅱ）沒有把握（Ⅲ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）最高矩形中點橫坐標就是眾數，每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和可得平均值；（Ⅱ）根據直方圖得到列聯表，利用公式求得 ，與鄰界值比較，即可得到結論；（Ⅲ）的取值可能有，根據獨立重復試驗概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，利用二項分布的期望公式可得結果.

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖知該小區居民由于臺風造成的經濟損失的眾數=3000（元）；

平均值=（元）

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經濟損失不超過元的有人，經濟損失超過元的有100-80=20人，

則表格數據如下

	經濟損失不 超過4000元	經濟損失超 過4000元	合計
捐款超過500元	60	10	70
捐款不超過500元	20	10	30
合計	80	20	100

．

由于，

所以沒有99%以上的把握認為捐款數額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關．

（Ⅲ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經濟損失超過元居民的頻率為，將頻率視為概率. 由題意知的取值可能有，

	0	1	2	3

的分布列