Question

【題目】(1)求函數的零點個數；

(2)證明：當，函數有最小值，設的最小值為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】(1) 1；(2).

【解析】試題分析：（1）研究函數的單調性，由零點存在性定理，即可判斷函數的零點個數；（2），由(1)知，在時單調遞增，因此，存在唯一，使得，因此在處取得最小值.

, 于是，進而求值域即可.

試題解析：

(1)函數的定義域為，且，

令，得，

當時，，在區間內單調遞減；

當時，，在區間內單調遞增；

故.

因為，當時，，即，

所以函數在區間內無零點.

因為，，

又在區間內單調遞增，

根據零點存在性定理，得

函數在區間內有且只有一個零點.

綜上，當時，函數在的零點個數為1.

(2)，

則，由(1)知，在時單調遞增，

對任意，，，

因此，存在唯一，使得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

因此在處取得最小值.

,

,

于是，

由，

得在單調遞減，

所以，由，得，

，

因為單調遞減，

對任意，存在唯一的，，使得，

所以的值域是.

綜上，當，函數有最小值.

的值域是.