Question

【題目】已知函數，，.函數的導函數在上存在零點.

求實數的取值范圍；

若存在實數，當時，函數在時取得最大值，求正實數的最大值；

若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數的值.

Answer 1

【答案】；4；12.

【解析】

由題意可知，，求導函數，方程在區間上有實數解，求出實數的取值范圍；

由，則，分步討論，并利用導函數在函數的單調性的研究，得出正實數的最大值；

設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，

整理得.所以，求得，設，則，

所以在上單調遞增，最后求出實數的值.

由題意可知，，則，

即方程在區間上有實數解，解得；

因為，則，

①當，即時，恒成立，

所以在上單調遞增，不符題意；

②當時，令，

解得：，

當時，，單調遞增，

所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；

③當時，，

解得：，

且當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

若，則在上單調遞減，所以，

若，則上單調遞減，在上單調遞增，

由題意可知，，即，

整理得，

因為存在，符合上式，所以，解得，

綜上，的最大值為4；

設直線與曲線的切點為，

因為，所以切線斜率，

即切線方程

整理得：

由題意可知，，即，

即，解得

所以切線方程為，

設直線與曲線的切點為，

因為，所以切線斜率，即切線方程為，

整理得.

所以，消去，整理得，

且因為，解得，

設，則，

所以在上單調遞增，

因為，所以，所以，即.