Question

【題目】已知函數，,使得對任意兩個不等的正實數，都有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若方程有兩個實根，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，在上單調遞減，求導得，分類討論的單調性，結合題意，得出的解析式；

（2）由為方程的兩個實根，得出，，兩式相減，分別算出和，利用換元法令和構造函數，根據導數研究單調性，求出，即可證出結論.

（1）根據題意，對任意兩個不等的正實數，都有恒成立.

則在上單調遞減，

因為，

當時，在內單調遞減.，

當時，由，有，

此時，當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

綜上，，所以.

（2）由為方程的兩個實根，

得，

兩式相減，可得，

因此，

令，由，得，

則，

構造函數.

則，

所以函數在上單調遞增，

故，

即， 可知，

故，命題得證.